Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）

（1）（2分）求点A、E的坐标；

（2）（2分）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。

（3）（5分）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由

Answer

（1）E（0，）

（2）y=

（3）在

【解析】【解析】
（1）连结AD，不难求得A（1，2）

     OE=，得E（0，）

（2）因为抛物线y=过点A、E

     由待定系数法得：c=，b=

     抛物线的解析式为y=

（3）大家记得这样一个常识吗？

     “牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？”即确定l上的点P

     方法是作点A关于l的对称点A'，连结A'B与l的交点P即为所求.

    本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”。

由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点D'，

连结BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，

即△PBD的周长L取最小值。

不难求得∠D'DC=30º

DF=，DD'=2

求得点D'的坐标为（4，）

直线BD'的解析式为：x+

直线AC的解析式为：

求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（，）。

此时BD'===2

所以△PBD的最小周长L为2+2

把点P的坐标代入y=成立，所以此时点P在抛物线上。