Question

AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。

   （1）（5分）求证：△AHD∽△CBD

   （2）（4分）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值

Answer

（1）证明略

（2）1

【解析】（1）证明：略

（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x

证Rt△AHD∽Rt△CBD

   则HD : BD=AD : CD

   即HD : (1-x)=(1+x) : 2

     即HD=

    在Rt△HOD中，由勾股定理得：

    OH==

    所以HD+HO=+=1

注意：当点E移动到使D与O重合的位置时，这时HD与HO重合，

由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用对应边的比例式为方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1