Question

(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点

C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：

∵抛物线与轴交于A（1，0）、B（两点，

∴

又∵抛物线与轴交于点C（0，3）

∴，

∴

∴

即……………3分

用其他解法参照给分

（2）∵点A（1，0），点C（0，3）

∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥轴

∴△QOC∽△COA

∴，即

∴OQ=9，……………………4分

又∵点Q在轴的负半轴上，∴Q（

设直线DC的解析式为：，则

    解之得：

∴直线DC的解析式为：……………………5分

∵点D是抛物线与直线DC的交点，

∴    解之得：    （不合题意，应舍去）

∴点D（……………………6分

用其他解法参照给分

（3）如图，点M为直线上一点，连结AM，PC，PA

设点M（，直线与轴交于点E，∴AE=2

∵抛物线的顶点为P，对称轴为

∴P（

∴PE=4

则PM=

∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC

                  =

=

=……………………7分

又∵S四边形AEPC= S△AEP+S△ACP

S△AEP=

∴+S△ACP=……………………8分

∵S△MAP=2S△ACP

∴

∴

∴，……………………9分

故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP

点M（或……………………10分

用其他解法参照给分

【解析】略