Question

在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F.

（1） 求OA，OC的长；

（2） 求证：DF为⊙O′的切线；

（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）【解析】
在矩形ABCO中，设OC=x，则OA=x+2，

     依题意得，x(x+2)=15.

     解得（不合题意，舍去）

∴ OC=3 ，OA=5 .     …………………………………1分

（2）证明：连结O′D，在矩形OABC中，

     ∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E为BC的中点，

∴△OCE≌△ABE .

∴ EO=EA .

∴∠EOA=∠EAO .

又∵O′O= O′D，

∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.

∴ O′D∥EA .

∵ DF⊥AE，

∴ DF⊥O′D .

又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，

∴ DF为⊙O′的切线.     …………………………………3分

 （3）答：存在 .

当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于点和两点，

则△AO、△AO均为等腰三角形.

证明：过点作H⊥OA于点H，则H=OC=3，

     ∵ A=OA=5，

∴ AH=4，OH=1.

∴（1,3）.

∵（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不与C、E重合，

∴ 点在⊙O′内.

类似可求（9,3）.

显然，点在点E的右侧，

∴点在⊙O′外.

当OA=OP时，同①可求得，（4,3），（-4,3）.

显然，点在点E的右侧，点在点C的左侧

因此，在直线BC上，除了E点外，还存在点， ，，，它们分别使△AOP为等腰三角形，且点在⊙O′内，点、、在⊙O′外.      …………7分

【解析】略