Question

如图所示，已知在直角梯形中，轴于点．动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒（），与直角梯形重叠部分的面积为．

（1）求经过三点的抛物线解析式；

（2）求与的函数关系式；

（3）将绕着点顺时针旋转，是否存在，使得的顶点或在抛物线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点，

设抛物线解析式为．     把，代入上式得：-----1分

解得------------3分   

∴所求抛物线解析式为----------4分

法二：∵，，    ∴抛物线的对称轴是直线．

设抛物线解析式为（）--------1分

把，代入得        解得-----------3分

∴所求抛物线解析式为-------4分

（2）分三种情况：

①当，重叠部分的面积是，过点作轴于点，

∵，在中，，，在中，，

，

∴，

∴-------6分

②当，设交于点，作轴于点，

，则四边形是等腰梯形，重叠部分的面积是．

∴，

∴----8分

③当，设与交于点，交于点，重叠部分的面积是．

因为和都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是

．

∵，，

∴，

∴，

∴

  ．------10分   （注：也可用S梯形AOPM－S∆NCP）

（3）存在    -------11分

             --------12分

【解析】略