Question

如图8，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．

Answer

略

【解析】（1）证明：连接BO，              …………………………1分

方法一：∵ AB＝AD＝AO

∴△ODB是直角三角形                   …………………………3分

∴∠OBD＝90°    即：BD⊥BO

    ∴BD是⊙O的切线．                     …………………………4分

方法二：∵AB＝AD，    ∴∠D＝∠ABD

∵AB＝AO，     ∴∠ABO＝∠AOB

又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°

        ∴∠OBD＝90°    即：BD⊥BO

        ∴BD是⊙O的切线                       …………………………4分

（2）【解析】
∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF

∴△ACF∽△BEF                           …………………………5分

    ∵AC是⊙O的直径

    ∴∠ABC＝90°

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝

∴                     …………………………7分

        又∵＝8

        ∴＝18                              …………………………8分