Question

如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：四边形DECF为菱形．

Answer

略

【解析】证法一：连结CD

∵ DE∥AC，DF∥BC，

∴ 四边形DECF为平行四边形，

∵∠CAB、∠ABC的平分线交于点D

∴点D是△ABC的内心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，

∵DF∥BC

∴∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC

∴ FC＝FD，

∴ 平行四边形DECF为菱形．  6分

证法二：过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，

∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形，

∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，

∴CE=CF．

∴平行四边形DECF为菱形．……………6分