Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，点B在x轴的负半轴上，

∠ABO=30°.

（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】

（1）过点A作AF⊥x轴于点F，

∵∠ABO=30°，A的坐标为（1，），

∴ BF=3 .

 ∵ OF=1 ,

∴ BO=2 .

∴ B(-2,0).

设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，

∴   …………………………………2分

（2）存在点C.

过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x= - 1交x轴于点E.

当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小.

∵  △BCE∽△BAF,

∴ .

∴

∴C（，）…………………………………4分

（3）存在.

 如图，连结AO，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则

               ，

            ∴直线AB为，

 =  |OB||P|+|OB||D|=|P|+|D|

               =.

∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.

∴==.  

 ∴x1=-  , x2=1(舍去).

∴p(-,-)  .

又∵S△BOD =x+,

∴ == .

∴x1=- ,    x2=-2.

P(-2,0)，不符合题意.

∴ 存在，点P坐标是（-，-）. ……………

【解析】略