Question

在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X_A,X_B是关于X的方程的两根:

1.求m，n的值;

2.若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式;

3.过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

Answer

1.∵以AB为直径的圆过点C，∴∠ACB=90°，而点C的坐标为（0，2），

由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO2=AO•BO，（1分）

即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．

∵OA＞OB，∴AO=4，

即xA=-4，xB=1．（2分）

由根与系数关系有： ，

解之m=-5，n=-3．（4分）

2.如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，

在△ABC中，易得AC= ，BC= ，（5分）

∵DE∥BC，∴ ，∵DE=EC，∴ ，

又△AED∽△ACB，有 ，∴ =2，（6分）

∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x= ，

则OD= ，即D（- ，0），（7分）

易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）

解法二：过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，

由S△ACD+S△BCD=S△ABC′

求得 ．（5分）

又S△BCD= BD•CO= BC•DF，

求得BD= ，DO= ．（7分）

即D（- ，0），

易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）

3.过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．

∵CD为∠ACB的平分线，∴DE=DF．

由△MDE∽△MNC，有 ，（9分）

由△DNF∽△MNC，有 ． （10分）

∴ ，（11分）

即 ．（12分）

 【解析】略