Question

如图，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

（1）连结，

证明：；

（2）如图，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

（3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

Answer

∴∠DF=∠FE.

∴.                                      ………………………….3分

（2）【解析】
如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆圆弧的中点，

∴AE=CE=3

∵AC为直径

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，

∵AQ是半圆的切线，

∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

（3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.

∵F是BC边的中点，∴.

∴BR=CS，

由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ,

∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3,

同理：∠2=∠4,

∴，

∴AM=CS，

∴AM=BR，

同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,

∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，

且∠DBR+∠DAR=180°,

∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

∵∠DAM+∠DAR=180°,

∴∠DBR=∠DAM

∴，

∴∠5=∠9,

∴∠RDM=90°，

∴∠5+∠7=90°，

∴∠6+∠8=90°，

∴∠PAB=90°，

∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，

【解析】略