Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，

且，点M是AB边的中点．

1.（1）求证：CM⊥DM；

2.（2）求点M到CD边的距离．（用含，的式子表示）

Answer

1.证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）

∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ADM=∠BEM．

∵点M是AB边的中点，

∴AM=BM．

在△ADM与△BEM中，

        ∠ADM=∠BEM，

            ∠AMD=∠BME，

            AM=BM，

∴△ADM≌△BEM． 

∴AD=BE=，DM=EM．

∴CE=CB+BE=．

∵CD=，

∴CE=CD．

∴CM⊥DM．

2.【解析】
（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图4）

∵CE=CD，DM=EM，

   ∴CM平分∠ECD．              

   ∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，             

   ∴MN=MB． 

   ∵AD∥BC，∠ABC=90°，

   ∴∠A=90°．

   ∵∠DFB=90°，

   ∴四边形ABFD为矩形．

   ∴BF= AD=，AB= DF． 

   ∴FC= BC－BF =．              

∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，

   ∴==．

   ∴ DF=．  -

   ∴MN=MB=AB=DF=．

   即点M到CD边的距离为．

【解析】略