Question

1.问题1  已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____．

2.拓展

问题2  已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．

3.推广

问题3  如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer

1.的值为  1

2.证明：如图9．

∵CB=CA，

             ∴∠CAB=∠CBA．

             ∵∠MAC=∠MBC，

             ∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，

             即∠MAB=∠MBA．

             ∴MA=MB．

             ∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，

             ∴∠AFM=∠BEM=90°．

   在△AFM与△BEM中，

           ∠AFM=∠BEM，

               ∠MAF =∠MBE，

               MA=MB，

∴△AFM≌△BEM．

∵点D是AB边的中点，

∴BD = AD．

在△BDE与△ADF中，

           BD = AD，

               ∠DBE =∠DAF，

               BE = AF，

∴△BDE≌△ADF．              

∴DE=DF． 

3.【解析】
DE=DF．

证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）

∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，

∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．

∴四边形DHMG是平行四边形．

∴∠DHM =∠DGM，

∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，

∴∠AFM=∠BEM=90°．

∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． 

∴FG= DH，DG= EH，    ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．

∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．

∵∠FAM=∠EBM，

∴∠FGM =∠EHM．

∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．

在△EHD与△DGF中，

           EH = DG，

               ∠EHD =∠DGF，

               HD = GF，

∴△EHD≌△DGF．              

∴DE=DF． 

【解析】略