Question

正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．

1.求证：△DEF∽△CEB；

2.当点P运动到DA的中点时，求证：点F为DC的中点.

Answer

1.∵ DE⊥CP，EF⊥BE，

∴ ∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，

∴ ∠1=∠2.                        ……………………………（2分）

∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠4+∠6=∠DCB=90°，

                  在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，

∴ ∠5=∠6，                      ……………………………（5分）

∴ △DEF∽△CEB.                ……………………………（6分）

2.∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 当点P运动到DA的中点时，PD=AD=DC.

∴ 在Rt△PDC中，tan∠4=，

∵ 在Rt△DEC中，tan∠4=，

∴ .                ……………………………（9分）

               ∵ △DEF∽△CEB，

∴ .                ……………………………（11分）

∵ CB=DC， 

∴

∴ 点F为DC的中点.             ……………………………（12分）

 (注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

 【解析】略