Question

如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

Answer

：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.

设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有

   解得，.

于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故

，整理得，

解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以 得   …………（10分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.

设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.

因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.

（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.

延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.

（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点的坐标是（8，），或（2，）.         …………（20分）

【解析】略