Question

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

Answer

：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件.                               …………（5分）

    另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为

，   ，

所以                        .

因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.        …………（10分）

设，i=1，2，3，…，n.

由，得，

所以，，即≥11.                 …………（15分）

≤，

故≤60. 所以，n≤61.

综上所述，n的最大值为61.                        …………（20分）

【解析】略