Question

（满分12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．

（1）求证：∠ADB=∠E；

（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．

（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer

（1）略

（2）是

（3）

【解析】（1）在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．

           ∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，

          ∴∠E=∠C． 

又∵∠ADB=∠C，   ∴∠ADB=∠E．

（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．

理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．

 又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED．           

       ∴ DE是⊙O的切线．

（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AF⊥BC，且BF=BC=3．

         又∵AB=5，∴AF=4．

         设⊙O的半径为，

在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3，

∴ ＝3＋（4－） 

           解得＝，       

 ∴⊙O的半径是