Question

（本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；  

（2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）C（4，）

的取值范围是：0≤≤4 

（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）

∴DE=-=     ……………………4分

∴等边△DEF的DE边上的高为： 

∴当点F在BO边上时：=，∴=3  ……………………5分

①  当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-  …7分

S= 

②  当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形

S= 

（3）存在，P（，0） 

【解析】(本题12 分)解（1）C（4，）  ……………………………2分

的取值范围是：0≤≤4  ……………………………… 3分

（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）

∴DE=-=     ……………………4分

∴等边△DEF的DE边上的高为： 

∴当点F在BO边上时：=，∴=3  ……………………5分

③  当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-  …7分

S=

=

=  ………………………………8分

④  当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形

S=  …………………  9分

=  ……………………10分

（3）存在，P（，0）  ……………………12分

说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4

∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,

若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）