Question

如图所示，点是⊙上一点，⊙与⊙相交于、两点，，垂足为，分别交⊙、⊙于、两点，延长交⊙于，交的延长线于，交于，连结．

1.求证：；

2.若，求证：；

3. 若，且线段、的长是关于的方程的两个实数根，求、的长．

Answer

1.∵BC⊥AD于D，

∴∠BDA=∠CDA=90°，

 ∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径．                       

    ∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，

    ∴∠BGD=∠C．                                       

2.∵∠DO2C=45°，∴∠ABD=45°

∵O2D=O2C，

∴∠C=∠O2DC=（180°-∠DO2C）=67.5°，                   

∴∠4=22.5°，·                                           

 ∵∠O2DC=∠ABD+∠F，

∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．                                  

    3.∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k．

    连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC，

    ∴  ∴AE·BF=BD·AF．

    又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2

    ∠AO2E=∠DO2C， O2E=O2C，

    ∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k，

    ∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．

    ∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．

    ∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，

    解得：BC=3k或BC=4k．                                 

    当BC=3k，BD=2k．

    ∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．

    ∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．

    整理，得：4m2-12m+29=0．

    ∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．

    ∴BC=3k（舍）．                                         

    当BC=4k时，BD=3k．

    ∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，

    得：m2-8m+16=0，

    解得：m1=m2=4，

    ∴原方程可化为x2-18x+72=0，

    解得：x1=6，x2=12， ∴BD=6，BF=12．

 【解析】略