Question

(满分l4分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)．抛物线y=ax²+bx过A，C两点．

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

 (2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E，过点E作EF上AD交AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长?

Answer

舞：(1)点A的坐标为(4，8)．                                ……3分

将A(4，8)，C(8，0)两点坐标分别代人y=ax2+bx，

      8=16a+4b，

得

      0=64a+8b．

解得a=一，b=4．

∴抛物线的解析式为：y=一x2+4x．                              ……7分

(2)在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=，即==，

∴PE=AP=t，PB=8一t．

∴点E的坐标为(4+t，8一t)．

∴点G的纵坐标为：一(4+t) 2+4(4+t)=-t2+8．             ……11分

∴EG=-t2+8-(8-t)

  =-t2+t=-(t-4) 2+2．

∵-<0，∴当t=4时，线段EG最长为2．                           ……14分

【解析】略