Question

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG

连结GD，求证△ADG≌△ABE；

如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B,C ）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变，若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer

（1）证明略

（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2

【解析】

【解析】
（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

    ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º

∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD

∴∠BAE＝∠DAG

∴△ BAE≌△DAG        …………4分

（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………1分

理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º

结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

又∵G在射线CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º

   ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE

      ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

∴＝＝

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2 

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 …………5分