Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED．

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

Answer

（1）略

（2）

【解析】（1）证明：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．

∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°．

∴ ∠BAC＝∠ACE． ……（2分）

又∵ ∠ADB＝∠CDE，

∴ △ABD∽△CED． ……（4分）

（2）【解析】
作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．

∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．

∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1． ……（6分）

在Rt△BDM中，BD＝＝． ……（7分）

由（1）△ABD∽△CED得，，，

∴ ED＝，∴ BE＝BD＋ED＝． ……（8分）