Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．

（1）求∠BAC的度数．

（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．

（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

Answer

（1）45°

（2）略

（3）12

【解析】（1）【解析】
连结OB和OC．

∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．

∵ OE＝BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． ……（2分）

（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．

由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，

∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ……（3分）

∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．

∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．

∴ 四边形AFHG是正方形． ……（5分）

（3）【解析】
由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．

设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． ……（7分）

在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．

解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．

∴ AD＝12． ……（8分）