Question

已知抛物线上有不同的两点E和F．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．

（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

Answer

（1）

（2）（m＞0）

（3）当 或时，∠PMQ的边过点F

【解析】

【解析】
（1）抛物线的对称轴为． ……..（1分）

∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，

∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．

∴ 抛物线的解析式为． ……..（2分）

（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），

∴ AB＝，AM＝BM＝． ……..（3分）

在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，

在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，

在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．

∴ ∠BCM＝∠AMD．

故 △BCM∽△AMD． ……..（4分）

∴ ，即 ，．

故n和m之间的函数关系式为（m＞0）． ……..（5分）

（3）∵ F在上，

∴ ，

化简得，，∴ k1＝1，k2＝3．

即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分）

①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为，

则 解得， ∴ 直线MF的解析式为．

直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．

若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；

若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝． ……..（7分）

②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为，

则 解得， ∴ 直线MF的解析式为．

直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．

若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；

若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝． ……..（8分）

故当 或时，∠PMQ的边过点F．