Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2）①A，B两点都不在这条抛物线上

②存在．m的值是1或-1

【解析】【解析】
(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ．   ……1分

设点B的横坐标是x(x>0)，则，                    ……1分

解得 ，(舍去)．

∴ 点B的横坐标是．                                         ……2分

(2) ① 当，，时，得 ……(＊)

．                                         ……1分

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，……1分

由此，可求得点C的坐标为(，)，  ……1分

点A的坐标为(，)，

∵ A，B两点关于原点对称，

∴ 点B的坐标为(，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．                        ……2分

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．                          ……1分

(情况2另【解析】
经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)

② 存在．m的值是1或-1．                                       ……2分

(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)