Question

（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

Answer

（1）

（2）劣弧EF的长为：

（3）点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分

【解析】（本小题满分12分）

【解析】
（1）∵抛物线经过点，，．

∴， 解得.

∴抛物线的解析式为：.           …………………………3分

（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．                    …………………………4分

连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．

∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                        …………………………6分

∴劣弧EF的长为：．                    …………………………7分

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.  ∵直线AC经过点.

∴，解得.∴直线AC的解析式为：.  ………8分

设点，PG交直线AC于N，

则点N坐标为.∵.

∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.

即=.

解得：m1=－3， m2=2（舍去）.

当m=－3时，=.

∴此时点P的坐标为.                         …………………………10分

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.

即=.

解得：，（舍去）.当时，=.

∴此时点P的坐标为.

综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．                                               …………………12分