Question

(本小题满分9分)

如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．

⑴求线段AD所在直线的函数表达式．

⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

Answer

（1）

（2）t=2

【解析】【解析】
⑴∵点A的坐标为(－2，0)，∠BAD=60°，∠AOD=90°，

∴OD=OA·tan60°=，

∴点D的坐标为（0，），  1分

设直线AD的函数表达式为，

，解得，

∴直线AD的函数表达式为.    3分

⑵∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DCB=∠BAD=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

  AD=DC=CB=BA=4，   5分

如图所示：

①点P在AD上与AC相切时，

AP1=2r=2，

∴t1=2.     6分

②点P在DC上与AC相切时，

CP2=2r=2，

∴AD+DP2=6，

∴t2=6.     7分

③点P在BC上与AC相切时，

CP3=2r=2，

∴AD+DC+CP3=10，

∴t3=10.    8分

④点P在AB上与AC相切时，

AP4=2r=2，

∴AD+DC+CB+BP4=14，

∴t4=14，

∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切. 9分