Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD＝3cm，

（1）求⊙O的直径。

（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t(0≤t≤2)，连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？

Answer

（1）6cm

（2）（cm2）

【解析】

（1）【解析】
∵AB是⊙O的直径.

∴∠ACB＝90°   ……………………（0.5＇）

又∠A＝30°

∴∠ABC＝60°  ………………………（1＇）

连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD＝90°   …………（2＇）

在△OBC中

∵OB＝OC，∠ABC＝60°

∴∠OCB＝60°

∴∠BCD＝30°       …………………………………（2.5＇）

又∠OBC＝∠BCD＋∠D

∴∠D＝30° …………………………………………（3＇）

∴AC＝CD＝3  …………………………………（3.5＇）

在Rt△ABC中，cosA＝

∴AB＝＝＝6（cm） ……………………（5＇）

（2）△BMN中，①当∠BNM＝90°时，cos∠MBC＝

即cos60°＝           ∴t＝1        ………（6＇）

此时BM＝3   BN＝1.5   MN＝＝     ……（7＇）

∴S△BMN＝BN·MN＝ （cm2）      …………………（8＇）

②当∠NMB＝90°时，cos∠MBC＝

即cos60°＝       ∴ t＝1.6     ………………（9＇）

此时BM＝ BN＝   MN＝＝    （10＇）

∴S△BMN＝ BM·MN＝××＝（cm2） ………………（11＇）