Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

Answer

（1）

（2）在，理由略

（3）M的坐标为（，）

【解析】

【解析】
（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为  …（1分）

            ∴

            ∴     ……………………………………………………………（3分）

            ∴所求函数关系式为：  …………（4分）

       （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5    ……………………………………（5分）

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．  …………（6分）

当时，

当时，

∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）

（3）设直线CD对应的函数关系式为，则

解得：．

∴        ………（9分）

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，

∴N点的横坐标也为t．

则，  ，……………………（10分）

∴

∵， ∴当时，，

此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）