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(本小题满分12分) 已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与...

(本小题满分12分)

已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.

如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).

说明: 6ec8aac122bd4f6e

解答下列问题:

(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?

(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.

(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.

 

(1)t=2 (2)当t = 3时,y最小= (3)当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上 【解析】 【解析】 (1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上, ∴AP = AQ. ∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°, ∴∠EQC = 45°.        ∴∠DEF =∠EQC.        ∴CE = CQ.  由题意知:CE = t,BP =2 t,                       ∴CQ = t.             ∴AQ = 8-t.             在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = 10 cm .             则AP = 10-2 t.             ∴10-2 t = 8-t.             解得:t = 2.      答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上.       4分 (2)过P作,交BE于M,∴. 在Rt△ABC和Rt△BPM中,,         ∴ .   ∴PM = .         ∵BC = 6 cm,CE = t,  ∴ BE = 6-t.  ∴y = S△ABC-S△BPE =-= - = = . ∵,∴抛物线开口向上. ∴当t = 3时,y最小=. 答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2.   8分 (3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上. 过P作,交AC于N, ∴. ∵,∴△PAN ∽△BAC. ∴. ∴. ∴,. ∵NQ = AQ-AN, ∴NQ = 8-t-() = . ∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上, ∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN, ∴△QCF∽△QNP . ∴ .  ∴ .  ∵    ∴ 解得:t = 1. 答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上.        12分
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(本小题满分10分)

问题再现

现实生活中,镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中,对于单种多边形的镶嵌,主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点,提出其中几个问题,共同来探究.

我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如图,用正方形镶嵌平面,可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.

说明: 6ec8aac122bd4f6e

试想:如果用正六边形镶嵌平面,在一个顶点周围应该围绕         个正六边形内角.

问题提出

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面,可能设计出几种不同的组合方案?

问题解决

猜想1:是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?

分析:我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现,解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说,就是在镶嵌平面时,一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.

验证1:在镶嵌平面时,设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程:

6ec8aac122bd4f6e,整理得:6ec8aac122bd4f6e

我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为6ec8aac122bd4f6e  .  

结论1:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.

猜想2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.

上面,我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况,仅仅得到了一部分组合方案,相信同学们用同样的方法,一定会找到其它可能的组合方案.

问题拓广

请你仿照上面的研究方式,探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案,并写出验证过程.

 

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(本小题满分10分)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:6ec8aac122bd4f6e

(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?

(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?

(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?

(成本=进价×销售量)

 

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(本小题满分8分)

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说明: 6ec8aac122bd4f6e

(1)求证:BE = DF;

(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.

 

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(本小题满分8分)某学校组织八年级学生参加社会实践活动,若单独租用35座客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用55座客车,则可以少租一辆,且余45个空座位.

(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数;

(2)已知35座客车的租金为每辆320元,55座客车的租金为每辆400元.根据租车资金不超过1500元的预算,学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满).请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金.

 

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(本小题满分6分)

小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=说明: 6ec8aac122bd4f6e米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)

说明: 6ec8aac122bd4f6e

(参考数据:6ec8aac122bd4f6e

 

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