Question

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D, E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为

（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；

（2）求的最小值；

（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）

Answer

（1）略

（2）

（3）线段AQ的长与m，n，k的取值有关

【解析】【解析】
解法一：

（1）据题意，∵a+h=.

∴所求正方形与矩形的面积之比：

  1分

由知同号,

   2分

（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）

3分

即正方形与矩形的面积之比不小于4.

（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.

∴⊙O的面积为：．  4分

矩形PDEF的面积：．

∴面积之比： 设

,   

，即时（EF=DE）, 的最小值为  7分

（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．

过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.

由BC∥MQ,得：BM =AG =h.

∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,

∴△FBP∽△ABQ.     8分  （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）

∴,……9分

∴.∴……10分

……11分

∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.    （解题过程叙述基本清楚即可）

解法二：

（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，

∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）

  ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.

    故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．   2分

∴（a＋h）２≥４a h，

∴≥４．（﹡）    3分

这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）

（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .

          S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy

=  

= 6分

由（1）（*），            .

.

∴的最小值是  7分

（3）当的值最小时，

这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴.……8分

∵△AQB∽△FPB, ，……9分

∴=．

而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分

∴AG=h＝,

或者AG=h＝ 11分

∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可）