Question

●探究   (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．

①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；

②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；

(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．

●归纳  无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，x=_________，y=___________．（不必证明）

●运用  在图3中，一次函数与反比例函数的图象交点为A，B．

①求出交点A，B的坐标；

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

Answer

（1）①(1，0)；②(-2，)

（2），

①A(-1，-3)，B(3，1)

②满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4)

【解析】【解析】
探究  

(1)①(1，0)；②(-2，)；-------------------------------2分

(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为

，， ，则∥∥．-------------------------------3分

∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得=．

∴O=．

即D点的横坐标是．------------------4分

同理可得D点的纵坐标是．

∴AB中点D的坐标为(，)．--------5分

归纳：，．-------------------------------6分

运用   ①由题意得

解得或．

∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．-------------8分

②以AB为对角线时，

由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．

∵平行四边形对角线互相平分，

∴OM=OP，即M为OP的中点．

∴P点坐标为(2，-2) ．---------------------------------9分

同理可得分别以OA，OB为对角线时，

点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．

∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．------10分