Question

在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．

⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．

①求k的值；

②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．

⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）

     

Answer

（1）

①k＝－1

②P的坐标为（1，3）或（3，1）

（2）b的值为或

【解析】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，

∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.

②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.

∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，

∴OD＝PD＝，OP=.

∵P在直线y＝－x＋4上，

设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，

∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，

∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，

解得m=1或3，

∴P的坐标为（1，3）或（3，1）

⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。

直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，

如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，

又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．

所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．

当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．

综合以上得：b的值为或．