Question

（本小题满分14分）

已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，），  与x轴交于点A、 B，点A的坐标为（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接CP．当△CPD的面积最大时，求点P的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点Q，与直线BC交于点F，点M 的坐标为（，0）．问：是否存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形？若存   在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2）

（3）或

【解析】（1）由题意，得

        解得.……2分

     ∴所求抛物线的解析式为：．.……3分

(2)设点P的坐标为(x，0)，过点D作DG⊥x轴于点G．

∴由，得．

     ∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（-4，0）．.……4分

     ∴AB=6，BP=2-x．

     ∵点P在线段AB上，

     ∴．.……5分

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ABC

∴   

即，∴．

 ∴

   .……8分

又，

∴当时，有最大值3，此时P．.……9分

（3）存在．

在△OMF中．

①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．

又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．

∴∠BMF=90°．此时，点F的坐标为（-2，-2）．

由，得．

此时，点Q的坐标为：．.……11分

②若OF=MF，过点F作FE⊥x轴于点E，

由等腰三角形的性质得：，∴BE=3，

∴在等腰直角△BEF中，EF=BE=3．∴F（-1，-3）．

由，得．

此时，点Q的坐标为：．.……13分

③若OM=OF，∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，∴，

∴点O到BC的距离为，而OF=OM=2<，

此时，不存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形．.……14分

综上所述，存在这样的直线，使得△OMF是等腰三角形．所求点Q的坐标为：

或．