Question

如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，

    试解决下列问题：

   （1）填空：点D坐标为         ；

   （2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；

   （3）等式BO=BD能否成立？为什么？

   （4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.

Answer

（1）

（2）

（3）略

（4）略

【解析】

（1）；（1分）

（2）

   ①  （2分）

   （3分）

  ②  （4分）（注：不去绝对值符号不扣分）

（3）[法一]若OB=BD，则

由①得  （5分）

[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.

∴直线CM的函数关系式为，  ③   （5分）

   ④

联立③，④得：，

[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1

过点B作

（4）如果，

①当，如图27 – 2

∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）

②当如图27 – 3

∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）

下证平行四边形BDCF为菱形：

[法一]在，

[方法①]上方

（舍去）.

得

[方法②]由②得：

此时

∴此时四边形BDCF为菱形（9分）

[法二]在等腰中