Question

如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.

（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；

（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明

理由.

Answer

（1）的坐标为（1，m）     两点的坐标为（）、（）

（2）

（3）不存在

【解析】【解析】
（1）

抛物线顶点的坐标为（1，m）··················· 2分

抛物线与轴交于两点，

当时，

解得

两点的坐标为（）、（）. ················· 4分

（2）当时，，

点的坐标为.

················ 5分

过点作轴于点，则

        =

        =

        =3m. ····························· 7分

························· 8分

（3）存在使为直角三角形的抛物线.

过点作于点，则为，

在中，

在中，

①如果是，且那么

即

解得，

存在抛物线使得是；········ 10分

②如果是，且那么

即

解得，

存在抛物线，使得是；

③如果是，且，那么

即

整理得此方程无解.

以为直角的直角三角形不存在.

综上所述，存在抛物线和

使得是.························· 12分