Question

（8分）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．

 （1）求证：AB为⊙O的切线；

 （2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．

Answer

（1）略

（2）

【解析】(1)证明：连结OE

     ∵ED∥OB

∴∠1=∠2，∠3=∠OED，

又OE=OD

∴∠2=∠OED

∴∠1=∠3                   （1分）

又OB=OB   OE= OC

∴△BCO≌△BEO（SAS）                                        （2分）

∴∠BEO=∠BCO=90°     即OE⊥AB

∴AB是⊙O切线.                                               (4分)

（2）【解析】
∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：

 ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=                         （5分）

 ∴                          （6分）

在Rt△CEG中，

∴EG=                                          （7分）

根据垂径定理得：                          （8分）