Question

（12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）直接写出D点的坐标；

（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；

（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．

Answer

（1）

（2）

（3）或1或

【解析】

【解析】
（1）D点的坐标是.                                    （2分）

（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°,

又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3

由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°

∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF                                               (4分)

∴，即：

∴y与x的解析式为：

          (6分)

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.

①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF为等腰直角三角形.

D在A’E上（A’E⊥OA）,

B在A’F上（A’F⊥EF）

∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为

四边形EFBD的面积.

∵

∴

∴

∴（也可用）   (8分)

②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.

∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA

∴四边形DEAB是平行四边形

∴AE=DB=

∴

            (10分)

③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.

 ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.

 由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3

 ∴AE=AF=OA-OE=

 过F作FH⊥AE于H,则

∴

综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或      （12分）