Question

如图，AB是8O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与

   8O相切于点D，弦DF^AB于点E，线段CD=10，连接BD；

   (1) 求证：ÐCDE=2ÐB；

   (2) 若BD：AB=：2，求8O的半径及DF的长。

Answer

（1）略

（2）    10 

【解析】(1) [证明] 连接OD，∵直线CD与8O相切于点D，∴OD^CD，

           ∴ÐCDO=90°，∴ÐCDE+ÐODE=90°，又∵DF^AB，

           ∴ÐDEO=ÐDEC=90°，∴ÐEOD+ÐODE=90°，

           ∴ÐCDE=ÐEOD，又∵ÐEOD=2ÐB，∴ÐCDE=2ÐB。

   (2) [解] 连接AD，∵AB是圆O的直径，∴ÐADB=90°，

          ∵BD：AB=：2，∴在Rt△ADB中，cosB==，

          ∴ÐB=30°，∴ÐAOD=2ÐB=60°，又∵在Rt△CDO中，CD=10，

          ∴OD=10tan30°=，即8O的半径为，在Rt△CDE中，CD=10，ÐC=30°，

          ∴DE=CDsin30°=5，∵弦DF^直径AB于点E，∴DE=EF=DF，∴DF=2DE=10。