Question

为的直径，为弦，且，垂足为．

（1）如果的半径为4，，求的度数；

（2）若点为的中点，连结，．求证：平分；

（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．

Answer

（1）30°

（2）略

（3）2个

【解析】【解析】
（1）∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB  ∴ CH＝CD＝2     ……（1分）

在Rt△COH中，sin∠COH==

             ∴ ∠COH=60°  …………………………………（2分）

             ∵ OA=OC    ∴∠BAC=∠COH=30° ………（3分）

     （2）∵ 点E是的中点   ∴OE⊥AB   ……………（4分）

           ∴ OE∥CD   ∴ ∠ECD=∠OEC    ………………（5分）

         又∵ ∠OEC=∠OCE

∴ ∠OCE=∠DCE    …………………………………（6分）

∴ CE平分∠OCD    …………………………………（6分）

    （3）圆周上到直线的距离为3的点有2个.    …………………（8分）

 因为劣弧上的点到直线的最大距离为2， 上的点到直线AC的最大距离为6，，根据圆的轴对称性，到直线AC距离为3的点有2个. ………（10分）