Question

（本题满分10分，每小题5分）

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．

（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；

（2）求证：AE2＝EB·EC．

Answer

（1）

（2）证明略

【解析】

【解析】
（1）解法一：                         解法二：

 ∵AB为⊙O的直径，                     ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，

 ∴∠ACB＝90°．……1分                ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分

 ∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，    ∵弦CD⊥直径AB于点M，

 ∴BC＝AB•cos30°＝2×…2分    ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分 

 ∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°，         ∴CD＝2CM＝2×

 ∴ CM＝BC=.……4分                      ＝2×＝……5分

 CD＝2CM＝．……5分  

（其它解法请酌情给分）

（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，

    ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分

    ∴∠ACE＝∠BAE＝90°．  7分

    又∵∠E＝∠E，

    ∴Rt△ECA∽Rt△EAB．    8分

    ∴．  9分

    ∴AE2＝EB•EC．  10分