Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．

（1）求证：△ACF≌△ACG；

（2）若AF = 4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）略

（2）

【解析】

（1）       如图，连结CD，OC，则∠ADC =∠B = 60°．

∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60°．

由于 ∠ODC = 60°，OC = OD，∴ △OCD为正三角形，得 ∠DCO = 60°．

由OC⊥l，得 ∠ECD = 30°，∴ ∠ECG = 30° + 30° = 60°．

进而 ∠ACF = 180°－2×60° = 60°，∴ △ACF≌△ACG．

（2）在Rt△ACF中，∠ACF = 60°，AF = 4，得 CF = 4．

在Rt△OCG中，∠COG = 60°，CG = CF = 4，得 OC =．

在Rt△CEO中，OE =．

于是 S阴影 = S△CEO－S扇形COD ==．