Question

如图，抛物线y = ax² + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，

△EFK的面积最大？并求出最大面积．

Answer

（1）    顶点D的坐标为（－1，）

（2）H（，）

（3）K（－，）

【解析】

（1）由题意，得  解得，b =－1．

所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为

DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．

∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．

设直线BD的解析式为y = k1x + b，则   解得 ，b1 = 3．

所以直线BD的解析式为y =x + 3．

由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，

得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．

同理可求得直线EF的解析式为y =x +．

联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．

（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．

则 KN = yK－yN =－（t +）=．

所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．

即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．