Question

矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．

  

Answer

【解析】如图7’所示，连接BB’，由题意可知△ABB’为等腰三角形，AE垂直平分BB’．由线段的垂直平分线的性质可知，直线AE上的每一点到点B和点B’的距离相等．则要在AE上找到到边CD的距离与到点B的距离相等的点P，只要过点B’作CD边的垂线，与AE的交点即为所求点P．所以图7中BP＝B’P且B’P⊥CD．易证证四边形BEBP为菱形．

法一：设BP＝B’P＝BE＝B’E＝x，Rt△ADB’中，易得DB’＝3，∴DB’＝2，Rt△CEB’中，CE＝4－x，B’E＝x，DB’＝2．∴(4－x)2＋4＝x2，解得x＝．

法二：∵四边形BEBP为菱形，∴BE＝B’E．由△ECB’∽ △B’DA，可得，再结合已知条件即可求解.