Question

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．

（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；

（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．

（参考数据：≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer

（1）相等

（2）3.6

【解析】（1）相等，

证明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF．

又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．

在△AEF与△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．

（2）法一：作AH⊥PQ，垂足为H，设AE＝x，

则AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．

Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，

∴x≈3.6，即AB≈3.6 km．答：略．

法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，∵EF＝1，∴EG＝．

在Rt△AEG中，∠AEG＝76°，AE＝EG÷cos76°＝÷0.24≈3.6．