Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点

（1）连接CO，求证：CO⊥AB；

（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．

Answer

（1）证明略

（2）点P的坐标为(0，2)或(1，1)或(2－，)

（3）s＝．(≤t≤)

【解析】（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．

∵直线AB的函数关系式是y＝－x＋2，∴易得A(2，0)，B(0，2)，∴AO＝BO＝2．

又∵∠AOB＝90°，∴∠DAO＝45°．

∵C(－2，－2)，∴CG＝OG＝2，∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，∴∠ODA＝90°．

∴OD⊥AB，即CO⊥AB．

（2）要使△POA为等腰三角形．

①当OP＝OA时，此时点P与点B重合，所以点P的坐标为(0，2)；

②当OP＝PA时，由∠OAB＝45°，所以点P恰好是AB的中点，所以点P的坐标为(1，1)；

③当AP＝AO时，则AP＝2，过点作PH⊥OA交OA于点H，

在Rt△APH中，易得PH＝AH＝，∴OH＝2－，∴点P的坐标为(2－，)．

∴若△POA为等腰三角形，则点P的坐标为(0，2)或(1，1)或(2－，)．

（3）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK．

由点C的坐标为(－2，－2)，易得CO＝．∴∠POD＝30°，

又∠AOD＝45°，∴∠POA＝75°，同理可求得∠POA的另一个值为15°．

∵M为EF的中点，∴CM⊥EF，

又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，所以，即MO·PO＝CO·DO．

∵PO＝t，MO＝s，CO＝，DO＝，∴st＝4．

但PO过圆心C时，MO＝CO＝，PO＝DO＝，即MO·PO＝4，也满足st＝4．

∴s＝．(≤t≤)．