Question

(9分)已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且

分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

Answer

【解析】
（1）证明：连接OE，则OB=OE。

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°。

∴△OBE是等边三角形。

∴∠OEB=∠C =60°。∴OE∥AC。

∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°。∴∠OEF=∠EFC=90°。

∴EF是⊙O的切线。

（2）连接DF,  ∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF=90°。

设⊙O的半径为r，则BE=r，EC=，AD=。

在Rt△ADF中，∵∠A=60°， ∴AF=2AD=。

∴FC=。

在Rt△CEF中 ， ∵∠C=60°， ∴EC=2FC。

∴=2（）。

解得。∴⊙O的半径是。

【解析】略