Question

（本题满分12分）

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r²

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

 

Answer

（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.

∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.

∴∠QFD＋∠Q＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.

∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.

∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.

∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.

（2）【解析】
（1）中的结论成立.

理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.

∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.

∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.

∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.

【解析】略