Question

（本题满分12分）

已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．

（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．

（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D

（如图2），① 求CD的长；

② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？

Answer

（1）①C（1，2），Q（2，0）．                          ……..2分

②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，

分两种情形讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，3－t=t，∴t=1.5．

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，t =2（－t ＋3），∴t=2．

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．                         ……6分

(2) ①由题意得：C(t，－＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是，

由，解得x1=t，x2=t；过点D作DE⊥CP于点E

△DEC∽△AOB，∴， CD=． …….9分

②∵CD=，CD边上的高=．∴S△COD=．∴S△COD为定值；

要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为。Rt△PCO∽Rt△OAB，∴，OP=，即t=，∴当t为秒时，h的值最大．                      …….12分

【解析】略