Question

．(10分)(1)如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．

①求证：△ABP≌△ACQ；

②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．

(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF＇G＇的位置，点M是边EF＇与边FG的交点，点N在边EG＇上且EN＝EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

Answer

(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形，

所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．

所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．

所以∠BAP＝∠CAQ．

所以△ABP≌△ACQ．……………………3分

②3……………………5分

(2)解法一：

过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．

在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分

类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分

所以∠EFM＝∠EGN．

因为∠EFG＝∠EGF，

所以∠EGF＝∠EGN，

所以GE是∠FGN的角平分线，……………………9分

所以点E到直线FG和GN的距离相等，

所以点E到直线GN的距离是12．……………10分

解法二：

过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线GN的垂线，点K为垂足．

在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分

类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分

所以，∠EFM＝∠EGN．

可证明△EFH≌△EGK，……………………9分

所以，EH＝EK．

所以点E到直线GN的距离是12．………………10分

解法三：

把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．

由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．

不失一般性，设∠EMF＝90°．

类似(1)可证明△EFM≌△EGN，

所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．

求得EM＝12．

所以点E到直线GN的距离是12．

(酌情赋分)

【解析】略