Question

（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）

在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F．

（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE，DF，试建立关于的函数关系式，

并写出自变量的取值范围；

（2）当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求的值；

（3）联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求的值。

Answer

(1)  过点作于点．

可得，；    ……2分

在Rt△DEG中，

∴，即

∴(负值舍去) （ ）…………………2+1分

（2）设的中点，联结，过点作于点． 

；

⊙与⊙外切时，，在中，，

∴化简并解得       ……………2分

⊙与⊙内切时， 在中，，

∴，化简并解得         ……………2分

综上所述，当⊙与⊙相切时，或．

（3）①时， 由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，

∴，即                         …1分

在中，=                …1分

当点F在线段DE上时，由=3，解得；   …1分

当点F在线段DE延长线上时，由=3，解得；1分

②时，过点F作于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ

∴，                                          ……………1分

=，（负值舍去）；   ……………1分

综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，2、．

【解析】略